Comment être sûr que la bissectrice obtenue au compas est exacte ?

[BenjaminJR]

Je viens de tomber sur un vieux cahier d’exercices de lycée, et en feuilletant les problèmes de géométrie, je me suis rappelé d’une chose qui me tracassait déjà à l’époque. Quand on trace la bissectrice d’un angle, on nous dit que c’est la droite qui le partage en deux angles égaux, c’est clair. Mais en y repensant, je me demande comment on peut être vraiment sûr, sans aucune mesure, que la construction au compas donne une droite qui est exactement et toujours la bissectrice. Est-ce qu’il y a une façon de le voir intuitivement, ou est-ce qu’on doit juste faire confiance à la démonstration ? Ça a l’air bête, mais ça me trotte dans la tête depuis ce matin.

[Aaron_S]

Pour voir intuitivement ce que fait la bissectrice on peut partir de ce que cela signifie en géométrie. Un point est équidistant des deux côtés de l angle quand il se trouve sur la bissectrice. Dans la construction on choisit des points D et E sur les deux côtés tels que AD et AE soient égaux et on trace des cercles de même rayon avec D et E comme centres jusqu à ce qu ils se croisent en P. Par définition les distances DP et EP sont alors égales et P est à l intérieur de l angle. La ligne qui passe par A et ce point P est ainsi le chemin qui relie A à un point équidistant des deux côtés ce qui est exactement la définition de la bissectrice. En regardant comme cela on peut se dire que la construction ne fait que retrouver ce locus sans mesurer.

[Richard.G]

Franchement sans démonstration on peut se dire que voir la bissectrice tient du ventre mou de l intuition. La construction donne cependant un point intérieur P équidistant des deux côtés et en reliant A à P on obtient une droite qui partage l angle. Ce qui marche c est que DP et EP sont égaux parce que les arcs qui ont pour centres D et E et pour rayon la distance DE se croisent en P d où AP est la bissectrice. C est peut etre plus convaincant quand on le voit comme visuel que comme règle formelle mais l intuition tient.

[Ava10]

Et si on reformule le problème autrement peut etre que la bissectrice n est pas qu une astuce de construction mais une propriété qui définit une ligne qui assure des angles égaux en chaque direction autour de A. Si on considère toutes les lignes passant par A on cherche celles qui rendent les angles égaux de part et d autre de la ligne. Dans cette optique la question devient est ce que la méthode au compas vérifie bien cette propriété ou est ce qu elle suppose quelque chose au-delà de la définition ?