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Salut à tous, je suis tombé sur un truc un peu bizarre en révisant mes cours de probas. Je jouais à un petit jeu de cartes simple avec mon neveu, on tire une carte chacun et on regarde qui a la plus haute, et je me suis demandé quelle était la probabilité d’avoir une carte strictement supérieure à la sienne. En faisant le calcul, je me suis rendu compte que mon résultat semblait différent de l’intuition que j’avais au départ, et ça m’a un peu déstabilisé. Je me demande si quelqu’un d’autre a déjà eu ce sentiment de doute sur un concept pourtant basique, où le résultat mathématique contredit un peu le feeling initial.

Je suis plutôt du genre calculateur et la probabilité donne 8/17 environ 0.4706. En pratique, quand on tire deux cartes, il peut y avoir des égalités de rang et par symétrie P(ta>l’autre) = P(ta<l’autre). Comme il y a aussi P(rang égal) = 1/17, on obtient P(ta>l’autre) = (1 - 1/17)/2 = 8/17. C’est un peu en dessous de 0.5 et ça explique l’impression binaire qui manque de nuance.

Ça me parle: j’ai aussi douté du sentiment que quand on tourne les chiffres, tout est 50/50. La probabilité d’avoir une carte strictement supérieure est 8/17, et c’est normal que le feeling résiste un peu. Le chiffre est là pour rappeler que les égalités prennent une part.

En y repensant vite, je me rend compte que le problème dépend de ce qu’on appelle supérieur. Si on compare par rang et que deux cartes ont la même valeur, personne ne gagne. Donc la probabilité n’est pas 0.5, c’est 8/17; tout est dans la symétrie et les égalités qui prennent une place.

Le vrai pb pourrait être reformulé: qu’est-ce que l’on entend exactement par supérieur quand deux cartes peuvent partager la même valeur? La probabilité que le premier tir soit plus fort que le second s’écrit 8/17 quand on compte les égalités de rang et qu’on ignore les couleurs.

On pourrait aussi parler du style du raisonnement: la probabilité, c’est ce rythme qui gêne l’intuition. En l’écrivant, on voit que 8/17 est le résultat et que le reste c’est la danse des égalités qui s’insère entre les deux nombres.

En clair: probabilité 8/17, c’est le chiffre exact. C’est juste un peu moins que 0,5, parce qu’il y a des paires de même valeur qui tombent parfois.

Quelques idées élargies: dans d’autres jeux on peut généraliser ce genre de résultats; quand il y a des égalités possibles, la probabilité d’être en tête n’est jamais tout à fait 50/50. Ce qui compte, c’est la masse des égalités et la symétrie.

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